讲一下分支定界法的实现思路。考虑这样的整数规划问题。

$$ \begin{aligned} \max~ & c^Tx \\ & Ax \leq b\\ & x\geq 0\\ & x\in \mathbb{Z}^n \end{aligned} $$

其中 $c\in \mathbb{R}^n, b\in\mathbb{R}^m, A\in\mathbb{R}^{m\times n}$。

接口

定义三个类

  • Node：代表搜索树的一个节点。一个节点就是一个线性规划实例。
  • LPSolver：线性规划问题求解器。
  • BranchAndBound：分支定界法的实现类。

Node 定义如下。

  class Node(object):

    """ Linear Program (LP) instance.
        The instance is defined as:
            max c^T x
            s.t. Ax <= b
                 x >= 0
        where:
            c: n-dim vector
            A: m x n matrix
            b: m-dim vecto
    """

    def __init__(self, A, b, c):
        self.A = A
        self.b = b
        self.c = c
        self.solution = None
        self.objective = None

LPSolver 用来求解 Node 对象，并把结果保存在对象中。

  class LPSolver:

    """ Solve the given linear program.
    """

    def __init__(self, node):
        """
        Args:
            node: Node object, The LP instance.
        """
        self.node = node
        self.status = None

    def solve(self):
        """ Solve the instance and save the result to 
        node.objective and node.solution.
        """
        # self.node.solution = ...
        # self.node.objective = ...
        pass

BranchAndBound 定义如下。方法 solve 用来求解，结果保存在成员变量中。

  class BranchAndBound:
    
    """ Branch and bound algorithm for maximization problem.
    """
    
    def __init__(self, A, b, c):
        """
        Args:
            c: n-dim vector
            A: m x n matrix
            b: m-dim vector
        """
        # Instance
        self.A = A
        self.b = b
        self.c = c
        # Solution
        self.solution = None
        self.objective = None
        self.status = None

    def solve(self):
        """ Solve the problem.
        """
        pass

实现

实现 LPSolver.solve 只要调求解器就可以了。这里用 OR-Tools 来求解。使用方法请参考官方教程，这里不重复讲。

接下来讲 BranchAndBound。

首先是初始化。定义根节点 self.root，这是搜索的起点。用 self._best_solution 和 self._best_objective 保存搜索结果，记录“最好的”可行解。

  class BranchAndBound:
    
    """ Branch and bound algorithm.
    """
    
    def __init__(self, A, b, c):
        """
        Args:
            c: n-dim vector
            A: m x n matrix
            b: m-dim vector
        """
        self.A = A
        self.b = b
        self.c = c
        self.root = Node(A, b, c)
        # Best search result
        self._best_solution = None
        self._best_objective = -np.inf
        # Final Solution
        self.solution = None
        self.objective = None
        self.status = None

接下来就是搜索过程。定义如下方法。

  • _branch(node)：给定当前节点 node，生成它的两个子节点。
  • _search(node)：递归的方式进行搜索，即深度优先搜索。其中用到 _branch 进行分支操作。
  class BranchAndBound:
    
    """ Branch and bound algorithm.
    """

    def _branch(self, node):
        """ Branch the node.
        """
        # node1 = Node(A1, b1, node.c)
        # node2 = Node(A2, b2, node.c)
        # return node1, node2
        pass


    def _search(self, node):
        """ Depth first search.
        """
        pass

最后是 solve 方法。调用 _search，再把结果写入成员变量。

  
class BranchAndBound:

    # ...

    def solve(self):
        """ Solve the problem.
        """
        self._search(self.root)
        if self._best_solution is not None:
            self.solution = self._best_solution
            self.objective = self._best_objective
            self.status = 'OPTIMAL'

代码

相关代码在 codes/integer-programming 文件夹。

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